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== 關於 tan x 的高次微分 ==

關鍵在於 D tan x = sec^2 x = tan^2 x + 1，
所以 tan x 的高次微分總是可以寫成 tan x 的多項式，
因此就能運用連鎖律先對那個「多項式」微分後再乘上 tan^2 + 1 即可。

實際計算下來是這樣的：

0: tan x
1: tan^2 x + 1
2: 2 tan x (tan^2 x + 1)
= 2 tan^3 x + 2 tan x
3: (6 tan^2 x + 2)(tan^2 x + 1)
= 6 tan^4 x + 8 tan^2 x + 2
4: (24 tan^3 x + 16 tan x)(tan^2 x + 1)
= 24 tan^5 x + 40 tan^3 x + 16 tan x
5: (120 tan^4 x + 120 tan^2 x + 16)(tan^2 x + 1)
= 120 tan^6 x + 240 tan^4 x + 136 tan^2 x + 16
6: (720 tan^5 x + 960 tan^3 x + 272 tan x)(tan^2 x + 1)
= 720 tan^7 x + 1680 tan^5 x + 1232 tan^3 x + 272 tan x
7: (5040 tan^6 x + 8400 tan^4 x + 3696 tan^2 x + 272)(tan^2 x + 1)
= 5040 tan^8 x + 13440 tan^6 x + 12096 tan^4 x + 3968 tan^2 x + 272
8: (40320 tan^7 x + 80640 tan^5 x + 48384 tan^3 x + 7936 tan x)(tan^2 x + 1)
= 40320 tan^9 x + 120960 tan^7 x + 129024 tan^5 x + 56320 tan^3 x + 7936 tan x

以最後一行求八次微分為例，七次微分的結果可以看成是
f7(y) = 5040y^8 + 13440y^6 + 12096y^4 + 3968y^2 + 272
這個多項式函數代入 y = tan x 而成的，
或者寫成 D^7 tan x = f7(tan x)
所以 D^8 tan x = f7'(tan x) * D tan x = f7'(tan x) * (tan^2 x + 1)
前面的多項式微分可以很機械性的做出來，即是 f7'(y) = 40320y^7 + 80640y^5 + 48384y^3 + 7936y，
代入 y = tan x 即得上面 8: 那條式子了

不過係數確實是會快速變大：
可以看出 N 次微分的首項係數是 N!，
而奇次微分的常數項會是 OEIS A000111 的奇數項，這數字的成長速度也跟 N! 差不多
(近似值是 2^(n+2) * n! / π^n，不要問我 π 哪裡來的 XD)
這還只是這兩端比較小的數字，中間數字可以變多大就自行想像吧。