a為正整數,若a除以3餘1,且a為奇數,試證:f(x)=(x+1)^a-x^a-1必有x^2+x+1之因式解法:a為正整數,a除以3餘1,且a為奇數 =>a=3(2k)＋1=6k＋1 (k為非負整數) =>f(x)=(x＋1)6k+1-x 6k＋1-1 又設c=(-1＋√3i)/2或(-1-√3i)/2其中i=√(-1)，則 c3=1且c2＋c＋1=0(可代入計算證明之) =>f(c)=(c＋1)6k+1-c 6k＋1-1 =(c2＋c＋1-c2)6k+1-c 6k＋1-1 =(-c2)6k+1-c 6k＋1-1 =-c12k+2-c 6k＋1-1 =-c2-c 1-1 =-0 =0 由因式定理知 f(x)有因式x-c =>f(x)有因式〔x-(-1＋√3i)/2〕,〔x-(-1-√3i)/2〕, =>f(x)有因式〔x-(-1＋√3i)/2〕〔x-(-1-√3i)/2〕, =>f(x)有因式x2＋x＋1 備註：c就是x2＋x＋1＝0的兩個根，常以ω表示之 (此題為某大學第二階段甄試題目) (Plurk Paste)

a為正整數,若a除以3餘1,且a為奇數,試證:f(x)=(x+1)^a-x^a-1必有x^2+x+1之因式解法:a為正整數,a除以3餘1,且a為奇數 =>a=3(2k)＋1=6k＋1 (k為非負整數) =>f(x)=(x＋1)6k+1-x 6k＋1-1 又設c=(-1＋√3i)/2或(-1-√3i)/2其中i=√(-1)，則 c3=1且c2＋c＋1=0(可代入計算證明之) =>f(c)=(c＋1)6k+1-c 6k＋1-1 =(c2＋c＋1-c2)6k+1-c 6k＋1-1 =(-c2)6k+1-c 6k＋1-1 =-c12k+2-c 6k＋1-1 =-c2-c 1-1 =-0 =0 由因式定理知 f(x)有因式x-c =>f(x)有因式〔x-(-1＋√3i)/2〕,〔x-(-1-√3i)/2〕, =>f(x)有因式〔x-(-1＋√3i)/2〕〔x-(-1-√3i)/2〕, =>f(x)有因式x2＋x＋1 備註：c就是x2＋x＋1＝0的兩個根，常以ω表示之 (此題為某大學第二階段甄試題目)

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